Функция уолша и разложение сигнала. Преобразование уолша и его применение для обработки сигналов. Разложение сигналов и помех по функциям Уолша

Базисные функции

Математическое представление

Спектр сигнала можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} ) в виде:

S (ω) = ∫ − ∞ + ∞ s (t) e − i ω t d t {\displaystyle S(\omega)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i\omega t}dt} , где ω {\displaystyle \omega } - угловая частота равная 2 π f {\displaystyle 2\pi f} .

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: S (ω) = A (ω) e − i ϕ (ω) {\displaystyle S(\omega)=A(\omega)e^{-i\phi (\omega)}} , где A (ω) {\displaystyle A(\omega)} - амплитудный спектр сигнала, ϕ (ω) {\displaystyle \phi (\omega)} - фазовый спектр сигнала.

Если под сигналом s (t) {\displaystyle s(t)} понимать

В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал S (T ) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов :

(2.8)

Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен , элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи.

Рис.2.3. К определению сигнала на выходе линейной цепи.

Сигнал на выходе линейной цепи равен

(2.9)

Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен:

(2.10)

Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными.

Набор функций называется ортогональным, Если в интервале от до

при (2.11)

И ортонормированным, Если для всех Выполняется условие

. (2.12)

Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал , является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от до принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г. г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.

Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию

, (2.13)

где: — период сигнала; =1,2,3,….

Рис. 2.4. Периодический сигнал

Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом:

Этот ряд называется рядом Фурье.

Возможна запись ряда Фурье в другом виде:

, (2.15)

Где: — модуль амплитуд гармоник;

— фазы гармоник;

— круговая частота;

— коэффициенты косинусоидальных составляющих; — коэффициенты синусоидальных составляющих; — среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).

Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число является номером гармоники. Совокупность величин в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин — спектром фаз.

Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.

Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Таким образом, спектр периодического сигнала – Линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры.

Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.

Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если — нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.

Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:

, (2.16)

— комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.

После подстановки значений и , получим:

(2.17)

Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени , либо комплексной амплитудой спектра.

2.2.1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса, называемого скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна . На рис.1.17 приведены три импульсные последовательности с разными скважностями и соответствующие им спектры. Для периодической последовательности, скважность которой равна 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. Во всех приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей.

Рис.2.6 .Периодические последовательности импульсов и их спектры.

2.2.2. Спектр непериодического сигнала

При рассмотрении спектра непериодического сигнала воспользуемся предельным переходом от периодического сигнала к непериодическому сигналу, устремив период к бесконечности.

Для периодического сигнала, представленного на рис. 2.4, ранее получено выражение (2.17) для комплексной амплитуды спектра:

(2.18)

Введем обозначение:

(2.19)

Построим модуль спектра :

Рис. 2.7. Модуль спектра периодического сигнала

Расстояние между спектральными линиями равно . Если увеличивать период , то будет уменьшаться интервал w1 . При интервал между спектральными линиями w1® dw. При этом периодическая последовательность импульсов превращается в одиночный импульс и модуль спектра стремится к непрерывной функции частоты . В результате предельного перехода от периодического сигнала к непериодическому линейчатый спектр вырождается в сплошной спектр, представленный на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Спектр непериодического сигнала

При этом комплексная амплитуда равна:

. (2.20)

С учетом предельного перехода при

(2.21)

Подставим полученное выражение в ряд (2.16). При этом сумма трансформируется в интеграл, а значения дискретных частот в значение текущей частоты и непериодический сигнал можно представить в следующем виде:

. (2.22)

Это выражение соответствует обратному преобразованию Фурье. Огибающая сплошного спектра одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса.

Интеграл Фурье позволяет любую непериодическую функцию представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно малым интервалом по частоте. Спектр сигнала определяется из выражения

Этот интеграл соответствует прямому преобразованию Фурье.

– комплексный спектр, в нём содержится информация, как о спектре амплитуд, так и о спектре фаз.

Таким образом, спектр непериодической функции сплошной. Можно сказать, что в нём содержатся «все» частоты. Если вырезать из сплошного спектра малый интервал частот , то частоты спектральных составляющих в этом участке будут отличаться сколь угодно мало. Поэтому спектральные составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и одинаковые комплексные амплитуды. Спектральная плотность есть отношение комплексной амплитуды малого интервала частот к величине этого интервала.

Спектральный анализ сигналов имеет фундаментальное значение в радиоэлектронике. Информация о спектре сигнала позволяет обоснованно выбирать полосу пропускания устройств, на которые воздействует этот сигнал.

2.2.3. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса

Рассчитаем спектр одиночного прямоугольного импульса, амплитуда которого равна Е , а длительность — t, представленного на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Одиночный прямоугольный импульс

В соответствии с выражением (2.24) спектр такого сигнала равен

=. (2.24)

Поскольку = 0 , когда , то частоты, на которых спектр обращается в нуль равны , где K =1,2,3…

На рис. 2.10 представлен комплексный спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью .

Рис.2.10. Спектр одиночного прямоугольного импульса

Спектральная плотность определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса. В общем случае распределение энергии неоднородно. Однородное распределение характерно для хаотического процесса, называемого «белым шумом».

Спектральная плотность импульса на нулевой частоте равна его площади. Приблизительно 90% энергии одиночного прямоугольного импульса сосредоточено в спектре, ширина которого определяется выражением

Соотношение (1.41) определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. В задачах, где форма сигнала имеет второстепенное значение полосу пропускания устройства для этого сигнала можно выбрать равной ширине первого лепестка спектра. При этом неизвестна степень искажения формы сигнала. Двукратное увеличение полосы пропускания лишь на 5% увеличит энергию сигнала при одновременном возрастании уровня шумов.

Доказать, что коэффициенты ряда Котельникова s (t ), это значения сигнала в моменты времени t =nT д.

Доказать, что функции отсчетов sinc(t -nT д) и sinc(t -mT д) ортогональны при n ¹m .

Определите спектральную плотность импульса, заданного аналитическим выражением s (t )=sinc(t -nT д).

Почему невозможно существование функции, описывающей сигнал, ограниченный во времени и имеющий ограниченный частотный спектр?

9. Представление сигналов функциями Уолша

В 1923 г. американским математиком Уолшем (Walsh J.L.) были введены и изучены функции, носящие его имя. Дискретные сигналы на основе функций Уолша (ФУ) представляют собой полную систему ортогональных функций типа прямоугольной волны. Область применения функций Уолша, достаточно обширная в настоящее время, постоянно расширяется.

Функции Уолша графически могут быть изображены различными способами. Однако на интервале своего определения они принимают только два значения: +1 и –1. При использовании ФУ обычно вводят безразмерное время, так что.

На рис. 9.1 представлены первые 8 функций Уолша (прямоугольных волн) на интервале значений аргумента.

Рис. 9.1. Функции Уолша, упорядоченные и пронумерованные в соответствии с количеством перемен знака на интервале .

Принятое обозначение wal k (q) связано с написанием фамилии Walsh. Индекс k указывает на число перемен знаков (число пересечений нулевого уровня) функцией на интервале определения. Поэтому половину значения k иначе называют частостью колебания wal k (q). Область существования ФУ характеризуется размером базиса , гдеn =1,2,3,.… На рис. 9.1 размер базиса .

Функции Уолша ортонормированы на интервале :

Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, т.е. перемножение двух ФУ дает другую ФУ, при этом

где операция обозначает поразрядное суммирование по модулю 2 по правилам:

1Å1=0; 0Å0=0; 1Å0=1; 0Å1=1.

Умножение ФУ самой на себя дает функцию нулевого порядка , так как в результате получаются только произведения видаи. Таким образом,

Умножение любой ФУ на функцию нулевого порядка, т.е.

не изменяет первой функции. В этом смысле ФУ играет роль своеобразной «единичной» функции.

Естественно, что полная ортонормированная система функций Уолша позволяет представлять любые сигналы рядами Уолша–Фурье.

.

Процедура нахождения амплитуды каждой «прямоугольной гармоники» ряда Уолша–Фурье весьма проста: при известном сигнале s (t ) для k -той «гармоники» коэффициентопределяется по формуле

.

Пример: разложить в ряд Уолша–Фурье функцию на интервале, ограничившись восемью членами разложения (базис).

Переходя к безразмерному времени следует обозначить. Поскольку заданная функцияs (t ) нечетная относительно , а все функции Уолша с четными индексами, включая нуль, четные рис. 9.1, то произведения, гдебудут нечетными функциями и, следовательно, интеграл от этих произведений равен нулю: с 0 =с 2 =с 4 =с 6 =0.

Теперь вычислим коэффициенты и:

Коэффициент равен:

,

где обозначено , а.

Проделав несложные выкладки можно получить

Таким образом, разложение синусоидального колебания s (t ) в базисе функций Уолша с N =8 имеет две ненулевые спектральные составляющие с амплитудами и

.

Результат аппроксимации сигнала усеченным рядом функциям Уолша и спектр этого сигнала в базисе функций Уолша представлен на рис. 9.2,а и б соответственно.

Рис. 9.2. Представление сигнала разложением по ортогональному базису функций Уолша

Среднеквадратическая ошибка представления сигнала усеченным рядомпо функциям Уолша составляет

Разумеется, разложение синусоиды в ряд Фурье по тригонометрическим функциям дает лучшую точность. Стопроцентная точность обеспечивается рядом, содержащим всего один член . Но разложение прямоугольной меандровой функции, такой как wal 1 (q), в ряд Фурье

при удержании всего двух членов ряда обеспечивает гораздо худшую точность по среднеквадратической ошибке, а именно, как следует из, . Естественно, что спектр прямоугольной функции по функциям Уолша будет содержать только одну составляющую и представлять ею исходную функцию совершенно точно.

Этот пример иллюстрирует тот факт, что для каждого конкретного типа сигналов всегда есть такая базисная система, разложение по которой дает максимально компактное представление этого сигнала при заданной точности (или максимально точное представление при заданном числе членов разложения).

Функции Уолша достаточно просто генерируются цифровыми системами формирования и обработки сигнала, выполненными на современной элементной базе.

Из (2.48) получим

(2.49)

С учетом того, что функции Уолша равны ±1, выражение (2.49) запишем в виде

(2.50)

где а п (к) = 0 или 1, определяет знак функции Уолша на интервале
Примеры спектров Уолша.

1. Спектр Уолша прямоугольного импульса s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ т (рис. 2.9)

Из (2.50) находим

Спектр Уолша прямоугольного импульса зависит от соотноше­ния между т и Т. При τ/T = 2 v где v - целое положительное число, с учетом значений функций Уолша получим

Разложение прямоугольного импульса по функциям Уолша име­ет вид

Спектр состоит из 2 V составляющих с одинаковыми амплитуда­ми, равными 1/2 V . Спектр содержит конечное число составляющих. При т/Т≠ 2 V структура спектра изменится.

2. Спектр Уолша треугольного импульса (рис. 2.10) При описании треугольного импульса

удобно перейти к безразмерному времени х= t/T

В соответствии с (2.50) находим:

Спектры Уолша при нумерации Хармута и Пэли изображены на рис.2.10, б и в.

3. Спектр Уолша синусоидального импульса (рис. 2.11)

Для синусоидального импульса

переходя к безразмерному времени x = t/T, запишем

Из (2.50) в системе Хармута находим (рис. 2.11):

Спектры Уолша рассматриваемого сигнала при нумерации Хар­мута и Пэли приведены на рис.2.11,6 и в.

2.7А. Свойства спектров Уолша

При анализе сигналов с использованием функций Уолша полез­но учитывать свойства разложения сигналов в базисе Уолша - спектров Уолша.

1. Спектр суммы сигналов равен сумме спектров каждого из сиг­налов.

Спектр сигнала в системе функций Уолша определяется коэф­фициентами разложения (2.47). Для суммы сигналов коэффициен­ты разложения определяются выражением

(2.52)

где а пк - коэффициенты разложения сигнала s k (t).

2. Умножение сигнала на функцию Уолша с номером n изменяет номера коэффициентов разложения с k по закону двоичного сдвига по модулю два

3. Спектр Уолша произведения сигналов s 1 (t) и s 2 (t). определен­ных на интервале . Такие функции описывают пе­риодические сигналы с ограниченной мощностью.

Для четной функции s(t), как это следует из (3.2),

(3.3)

для нечетной функции s(t):

(3.4)

Обычно при анализе сигналов используется разложение s(t) в виде

(3.5)

Периодический сигнал представляется в виде суммы гармони­ческих составляющих с амплитудами А n и начальными фазами.

Совокупность амплитуд {Д,} определяет амплитудный спектр, а совокупность начальных фаз {φ n } - фазовый спектр сигнала (рис.3.1,а). Как следует из (3.5), спектры периодических сигналов являются дискретными или линейчатыми, интервал дискретизации по частоте равен частоте сигнала ω 1 = 2π/ Т.

Тригонометрический ряд Фурье можно записать в комплексной форме

(3.7)

(3.8)

Переход от (3.1) к (3.7) очевиден с учетом формулы Эйлера

(3.9)

Коэффициенты с n в общем случае являются комплексными ве­личинами

При использовании комплексной формы ряда Фурье сигнал оп­ределяется совокупностью комплексных амплитуд {с n }. Модули комплексных амплитуд |с n | описывают амплитудный спектр, аргу­менты φ n - фазовый спектр сигнала (рис. 3.1,6).

Представив (3.8) в виде

(3.11)

Как следует из записанных выражений, амплитудный спектр об­ладает четной, а фазовый - нечетной симметрией

(3.13)

Из сопоставления выражений (3.2) и (3.11) следует

В качестве примера рассмотрим периодическую последователь­ность прямоугольных импульсов (рис. 3.2,а). При разложении пе­риодической последовательности прямоугольных импульсов в три­гонометрический ряд Фурье из (3.2) получим амплитудный и фазо­вый спектры в виде (рис.3.2,б):

При использовании комплексной формы ряда Фурье
из (3.8) следует:

Амплитудный и фазовый спектры сигнала равны

Предельным видом ряда Фурье является интеграл Фурье. Пе­риодический сигнал при Т → ∞ становится непериодическим. Под­ставив (3.8) в (3.7), запишем

(3.16)

Гармонический анализ сигналов

Преобразуя (3.16), при T→∞ (в этом случае ω 1 → dω и пω 1 = ω), получаем

(3.17)

В квадратных скобках записан интеграл Фурье, он описывает спектральную плотность сигнала

Выражение (3.17) примет вид

Записанные соотношения представляют прямое и обратное преобразования Фурье. Они используются при гармоническом ана­лизе непериодических сигналов.

3.2. Гармонический анализ непериодических сигналов

Прямое и обратное преобразования Фурье устанавливают вза­имно однозначное соответствие между сигналом (временной функ­цией, описывающей сигнал s(t)) и его спектральной плотностью S(ω):

(3.18)

Соответствие по Фурье обозначим:

(3.19)

Условием существования преобразования Фурье является аб­солютная интегрируемость функции s(t)

(3.20)

В практических приложениях более удобным является условие интегрируемости квадрата этой функции

(3.21)

Для реальных сигналов условие (3.21) эквивалентно условию (3.20), но имеет более очевидный физический смысл: условие (3.21) означает ограниченную энергию сигнала. Таким образом, можем считать возможным применение преобразования Фурье к сигналам с ограниченной энергией. Это непериодические (импульс­ные) сигналы. Для периодических сигналов разложение на гармо­

нические составляющие производится с помощью ряда Фурье.

Функция S(ω) в общем случае является комплексной

где Re, lm - действительная и мнимая части комплексной величины; |s(w)|, ф(оо)- модуль и аргумент комплексной величины:

Модуль спектральной плотности сигнала |S(ω)| описывает рас­пределение амплитуд гармонических составляющих по частоте, на­зывается амплитудным спектром. Аргумент φ(ω) дает распределе­ние фазы по частоте, называется фазовым спектром сигнала. Ам­плитудный спектр является четной функцией, а фазовый спектр - нечетной функцией частоты

С учетом формулы Эйлера (3.9) выражение для S(ω) запишем в виде

(3.24)

Если s(t)четная функция, то из (3.24) получим

(3.25)

Функция S(ω), как следует из (3.25), является действительной функцией. Фазовый спектр определяется как

(3.26)

Для нечетной функции s(t) из (3.24) получим

(3.27)

Функция S(ω) является чисто мнимой, фазовый спектр

(3.28)

Любой сигнал можно представить как сумму четной s ч (t) и нечет­ной s H (t) составляющих

(3.29)

Возможность такого представления становится ясной с учетом следующих равенств:

Из (3.24) и (3.29) получим

(3.30)

Следовательно, для действительной и мнимой частей спек­тральной плотности сигнала можно записать:

Таким образом, действительная часть спектральной плотности представляет преобразование Фурье от четной составляющей, мнимая часть - от нечетной составляющей сигнала. Действитель­ная часть комплексной спектральной плотности сигнала является четной, а мнимая часть - нечетной функцией частоты.

Спектральная плотность сигнала при ω = 0

(3.31)

равна площади под кривой s(t).

В качестве примеров получим спектры некоторых сигналов.

1. Прямоугольный импульс (рис. 3.3,а)

где τ и - длительность импульса.

Спектральная плотность сигнала

Графики амплитудного и фазового спектров сигнала приведены на рис. 3.3,б,в.

2. Сигнал, описываемый функцией

Спектральная плотность сигнала определяется выражением

Интегрируя по частям n-1 раз, получаем

Сигнал (рис. 3.4,а)

имеет спектральную плотность

Графики амплитудного и фазового спектров изображены на рис. 3.4,б,в.

Сигнал (рис. 3.5,а)

имеет спектральную плотность

Графики амплитудного и фазового спектров - рис. 3.5,б,в.

Число примеров увеличивает табл. 3.1.

Сравнение (3.18) и (3.8) показывает, что спектральная плотность одиночного импульса при τ<

С учетом указанного соотношения определение спектра периоди­ческого сигнала в ряде случаев можно упростить, используя преобра­зование Фурье (3.18). Коэффициенты ряда Фурье находятся как

(3.32)

где S(ω) - спектральная плотность одного импульса.

Таким образом, при определении амплитудного и фазового спектров периодических сигналов полезно иметь в виду следующие равенства:

Коэффициент 1/T может рассматриваться как интервал частот между соседними составляющими спектра, а спектральная плот­ность как отношение амплитуды составляющей сигнала к интерва­лу частот, которому соответствует амплитуда. С учетом этого ста­новится более понятным термин «спектральная плотность». Не­прерывные амплитудный и фазовый спектры одиночного импульса являются огибающими дискретных амплитудного и фазового спек­тров периодической последовательности таких импульсов.

С помощью соотношений (3.33) результаты, приведенные в табл. 3.1, можно использовать для определения спектров перио­дических последовательностей импульсов. Такой подход иллюст­рируют следующие примеры.

1. Периодическая последовательность прямоугольных им­пульсов (табл. 3.1, п. 1), рис. 3.2.

Записанное выражение повторяет результат примера п.3.1.

2. Периодическая последовательность меандровых импульсов (табл. 3.1, п.2), рис. 3.6, рис. 3.2.

3. Периодическая последовательность экспоненциальных импульсов (табл. 3.1, п.8), рис. 3.7.

Таблица 3.1

Сигналы и их спектры

3.3. Частотные спектры сигналов, представленных в виде обобщенного ряда Фурье

При представлении сигнала в виде обобщенного ряда Фурье полезно иметь преобразование Фурье базисных функций. Это по­зволит от спектра в базисе различных ортогональных систем пе­рейти к частотному спектру. Ниже приведены примеры частотных спектров некоторых видов сигналов, описываемых базисными функциями ортогональных систем.

1 .Сигналы Лежандра.

Преобразование Фурье многочлена Лежандра (разд. 2) имеет вид

(3.34)

п= 1,2, ... - многочлен Лежандра; - функция Бесселя.

Используя (3.34), от сигнала, представленного в виде ряда

с коэффициентами

(3.35)

Выражение (3.35) описывает спектральную плотность сигнала s(f) в виде ряда.

Графики составляющих спектра с номерами 1 - 3 приведены на рис.3.8.

2. Сигналы Лагерра.

Преобразование Фурье функции Лагерра имеет вид

(3.36)

п= 1,2,...- функции Лагерра.

Используя (3.36), от сигнала, представленного в виде ряда раз­ложения по многочленам Лагерра (разд. 2)

с коэффициентами

можно перейти к спектральной плотности сигнала

(3.37)

3. Сигналы Эрмита.

Преобразование Фурье функции Эрмита имеет вид

(3.38)

п= 1,2,...- функции Эрмита.

Из (3.38) следует, что функции Эрмита обладают свойством трансформируемости, т.е. функции и их преобразования Фурье равны (с точностью до постоянных коэффициентов). Используя (3.38), от сигнала, представленного в виде ряда разложения по многочленам Эрмита

с коэффициентами

можно перейти к спектральной плотности сигнала

(3.39)

4. Сигналы Уолша.

Частотные спектры сигналов Уолша (сигналов, описываемых функциями Уолша) определяются следующим преобразованием Фурье:

(3.40)

где wal(n,x) - функция Уолша.

Так как функции Уолша имеют N участков постоянных значений,

где х к - значение х на к-ом интервале.

Из (3.41) получим

где

Так как функции Уолша принимают значения ±1, то (3.42) можем записать в виде

(3.43)

где а n (к) = 0 или 1 определяет знак функции wal(n,x k).

На рис. 3.9 приведены графики амплитудных спектров первых шести сигналов Уолша.

3.4. Спектры сигналов, описываемых неинтегрируемыми функциями

Преобразование Фурье существует только для сигналов с ко­нечной энергией (для которых выполняется условие (3.21)). Расши­рить класс сигналов, анализируемых с использованием преобразо­вания Фурье, позволяет чисто формальный прием, основанный на введении понятия спектральной плотности для импульсной функ­ции. Рассмотрим некоторые из таких сигналов.

1. Импульсная функция.

Импульсная функция (или δ - функция) определяется как

(3.44)

Из определения импульсной функции следует ее фильтрующее свойство

(3.45)

Спектральную плотность импульсной функции определим как

(3.46)

Амплитудный спектр равен единице, фазовый спектр φ(ω) = ωt 0 (рис. 3.10).

Обратное преобразование Фурье дает

По аналогии с (3.47) для частотной области запишем

(3.48)

Используя полученные выражения, определим спектральные плотности некоторых видов сигналов, описываемых функциями, для которых не существует преобразования Фурье.

2. Постоянный сигнал s(t) = s 0 .

С учетом (3.48) получим (рис. 3.11)

(3.49)

3. Гармонический сигнал.

Спектральная плотность сигнала получится с учетом (3.48) в виде

При φ = 0 (рис. 3.12)

Для сигнала

(3.53)

по аналогии с (3.52) найдем

4. Единичная ступенчатая функция.

(3.55)

Единичную ступенчатую функцию σ(t) будем рассматривать как предельный вид экспоненциального импульса

Экспоненциальный импульс представим в виде суммы четной и нечетной составляющих (3.29)