Спектральный анализ сигналов. Амплитудно-частотный спектр Амплитудный спектр фурье

В предыдущих разделах мы рассмотрели разложение периодических сигналов в ряд Фурье, а также изучили некоторые свойства представления периодических сигналов рядом Фурье. Мы говорили, что периодические сигналы можно представить как ряд комплексных экспонент, отстоящих друг от друга на частоту рад/c, где — период повторения сигнала. В результате мы можем трактовать представление сигнала в виде ряда комплексных гармоник как комплексный спектр сигнала. Комплексный спектр, в свою очередь, может быть разделен на амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1

Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.

Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов представляет собой множество гармоник с огибающей вида .

Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:

Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя :

Где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.

Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.

Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:

Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:

Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше , тогда решением уравнения будет

Тогда огибающая обращается в ноль если

На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .

Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр .

Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .

Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).

Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр

Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .

Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .

Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Смещенный сигнал можно представить как сигнал , задержанный на половину длительности импульса . Спектр смещенного сигнала можно представить согласно свойству циклического временного сдвига как:

Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель . Амплитудный и фазовый спектры показаны на рисунке 5.

Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.

Выводы

В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.

Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.

Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

Огибающая АЧС последовательности прямоугольных видеоим-пульсов описывается функцией

и пересекает ось частот, когда х кратно л, т. е. п кратно q, τ. е. при частотах, кратных скважности. Поэтому именно эти частоты, равные

отсутствуют в спектре.

Обычно при построении спектров откладывают относительные

величины, т. е. и получают

относительный или нормированный спектр (рис. 15.6).

Спектральные составляющие с наибольшей амплитудой распо-ложены под первыми арками, в них сосредоточена и основная часть энергии сигнала. Поэтому эффективную ширину спектра можно определить как:

Теоретически ширина спектра бесконечна, однако не все его составляющие оказывают действенное влияние на форму сигнала и имеют практическое значение. Поэтому под шириной спектра обычно понимают ограниченный диапазон частот, внутри которого распределена большая часть энергии сигнала. Ширина спектра, так же как, например, полоса пропускания контура, — понятие условное.

Рассмотрим особенности АЧС при изменении длительности и частоты следования импульсов (рис, 15.7).

С уменьшением частоты следования Ω при t И = const происхо-дит сгущение спектра: расстояние между спектральными линиями уменьшается. Ширина спектра, определяемая его огибающей, не меняется, а основная часть энергии распределяется на большем числе гармоник.

С увеличением длительности импульсов при Ω= const ширина арок и связанная с ней ширина спектра уменьшаются: происходит относительное сжатие спектра. Основная часть энергии распреде-ляется на меньшем числе гармоник и сосредоточивается в области все более низких частот.

Таким образом, чем короче импульсы и больше их скважность, тем шире и гуще их спектр, и наоборот.

На практике часто приходится учитывать в спектре лишь ко-нечное число гармоник. Точность аппроксимации исходной функ-ции в этом случае зависит от числа учтенных гармоник. Она ока-зывается достаточной, если учитываются все гармоники, опреде-ляемые заданной шириной спектра.

Фазо-частотный спектр

Как следует из выражений (15.24) и (15.25) начальные фазы гармоник определяются как:

Отсюда следует, что огибающая ФЧС представляет собой пря-мую с углом наклона α, зависящим от сдвига импульсов. Учет из-менения от арки к арке фазы гармоник на я осуществляется соот-ветствующим смещением этой прямой параллельно себе на π вверх или вниз (рис. 15.8).

Каждая арка АЧС имеет ширину, равную qΩ. Поэтому вели-чина сдвига фазы на одну арку составляет угол:

. (15.28)

Поэтому угол наклона α огибающей ФЧС, как это следует и из рис. 15.9, равен арктангенсу от величины сдвига импульсов:


Чем больше сдвиг импульсов во времени, тем больше наклон огибающей их ФЧС (рис. 15.9). При t 0 = 0 угол α равен нулю.

Симметричные частотные спектры имеют аналогичный вид, но построение спектральных линий на них распространяется на ось отрицательных частот. При этом АЧС и ФЧС оказываются симмет-ричными относительно оси ординат и начала отсчета соответ-ственно (рис. 15.10).

Решение.

1. Расстояние между спектральными линиями, равное частоте следования импульсов:

2. Ширина арки:

3. Количество спектральных линий под каждой аркой:

4. Сдвиг фазы на одну арку:

Постоянная составляющая:

6. Т абличные значения функции соответствующие частотам F, 2F, 3F и рассчитанные с их помощью амплитуды и начальные фазы гармоник:

В спектре отсутствуют гармоники, кратные q = 5, т. е. 5F = 50 кГц, lOF = 100 кГц, 15F = 150 кГц и т. д.

СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РАДИОИМПУЛЬСОВ

Рассчитаем спектр симметричной относительно оси ординат последовательности прямоугольных радиоимпульсов (рис. 15.11):

Здесь и Ω — период и частота следования импульсов;

ω H — несущая частота.

Если несущая частота кратна частоте следования, т. е. ω H = kΩ, где k — целое число, то импульсы называются когерентными, если эти частоты некратны (), то импульсы — некогерентные.

С помощью выражения (15.4) находим постоянную состав-ляющую

В силу симметрии функции относительно оси ординат ряд Фурье будет содержать лишь косинусоиды (b n = 0 ).

Отсюда следует, что амплитуды гармонических составляющих резко возрастают в районе значений частот, близких к ω н, т. е. .По в этом районе значений п второе слагаемое в выражении (15. 32) значительно меньше первого, и им можно прене-бречь. Кроме того, так как ω H >Ω, постоянной составляющей можно также практически пренебречь.

Таким образом, при сделанных допущениях

Отсюда следует, что огибающая АЧС последовательности пря-моугольных радиоимпульсов определяется, так же как и для по-следовательности аналогичных видеоимпульсов, функцией . Разница лишь в том, что эта функция сдвинута по оси частот на величину , а ее максимум вдвое меньше и соответ-ствует частоте . (рис. 15.12).

В спектре некогерентной последовательности радиоимпульсов несущая частота сон отсутствует, и наибольшую ампли-туду имеет составляющая с частотой, близкой к . Если импульсы когерентны, то в их спектре присутствует составляющая несущей частоты, имеющая наибольшую амплитуду, равную (рис. 15.13).

Таким образом, спектр последовательности прямоугольных ра-диоимпульсов совпадает со спектром последовательности прямоугольных видеоимпульсов, смещенным вправо по оси частот на величину ω н. При этом часть спектра, лежащая в области ω<ω н, является зеркальным отображением части спектра, лежащего в области ω> ω н. Сделанные выводы тем точнее, чем ω н >Ω,

При комплексной форме ряда Фурье и построении симметричных спек-тров п принимает не только положительные, но и отрицательные значения. При отрицательных п в формуле (15.32) нельзя пренебречь вторым слагаемым, так как в районе частот , оно становится, наоборот, значительно больше первого слагаемого.

Наиболее эффективные спектральные составляющие, имеющие наибольшие амплитуды, у радиоимпульсов сосредоточены вблизи несущей частоты. Эффективная ширина спектра радиоимпульсов в два раза больше, чем у одинаковых по длительности видеоим-пульсов.

Пример 15.2.

Построить AЧC периодической последовательности прямоугольных радио-импульсов, если U m = 100 мВ; f H =250 МГц; кГц; t И = 100 мкс.

1. Скважность импульсов:

2. Ширина малых арок и половины большой арки:

3. Максимальная ордината огибающей спектра:

4. Так как f H кратно F, импульсы когерентны, основная спектральная со-ставляющая имеет частоту, равную f H = 250 МГц.

В спектре, показанном на рис. 15.13, присутствуют частоты:

отсутствуют частоты:

Амплитуды соответствующих гармоник могут быть непосредственно отсчи-таны из графика как ординаты огибающей, взятые при соответствующих ча-стотах.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ФОРМОЙ СИГНАЛА И ЕГО СПЕКТРОМ

Форма сигнала в полной мере определяется лишь совокупно-стью двух его спектров: АЧС и ФЧС. Тем не менее можно устано-вить ряд характерных связей между формой сигнала и парамет-рами его АЧС, которые позволяют на практике, имея АЧС, судить о форме сигнала, и наоборот.

Сравнивая спектры прямоугольных и треугольных импульсов, заметим, что ряд Фурье в случае треугольных импульсов сходится быстрее, чем в случае прямоугольных импульсов, так как ампли-туды гармоник убывают быстрее с ростом их номера (табл. 15.1). Закономерность, по которой уменьшаются амплитуды гармоник с ростом их номера, можно выразить через число раз дифферен-цирования исследуемой функции, необходимое для "выделения из нее дельта-функций. Пусть в k-й производной исследуемой функ-ции появляются дельта-функции. Тогда для коэффициентов Фурье имеют силу неравенства:

где М — постоянная, зависящая от формы сигнала.

Скорость убывания амплитуд гармоник в спектре зависит от структурных свойств сигнала: коэффициенты убывают тем быст-рее, чем более «гладкой» является форма сигнала и его производ-ных. Если сигнал имеет скачкообразные переходы (его функция имеет конечные разрывы) и в его первой производной появляются δ(t)-импульсы, то амплитуды гармоник в его спектре стремятся к нулю очень медленно — порядок 1/п; если"же в пределах пе-риода следования сигнал непрерывен, но в его первой производ-ной имеются конечные разрывы, а во второй — δ(t)-импульсы, то амплитуды его гармоник стремятся к нулю быстрее—порядок не ниже 1/n 2 и τ. д. .Чем быстрее убывают коэффициенты Фурье, чем более «гладкая» форма сигнала, тем меньше ширина его спектра. В пределе имеет место наиболее «гладкое» моногармоническое колебание.

Понятие длительности определено лишь для прямоугольных и сходных с ними импульсов. На практике длительность импульса произвольной формы, так же как и ширину спектра сигнала, определяют энергетическим методом, т. е. как интервал времени, внутри которого сосредоточена большая часть его энергии, на-пример 90%. Ширина спектра импульсов получается тем больше, чем меньше длительность импульсов.

Важным свойством АЧС сиг-нала является то, что произведение длительности импульса на ширину спектра есть величина постоянная для импульсов данной формы:

Это свойство присуще спектрам любых сигналов и играет су-щественную роль при выборе их параметров.

Уменьшение длительности радиолокационных импульсов, на-пример, позволяет увеличить точность определения координат цели. Однако увеличение при этом ширины спектра сигнала за-трудняет обеспечение требуемой помехозащищенности радиопри-емных устройств. Такая противоречивость следует из усло-вия (15.35). Поэтому желательно выбирать такую форму импуль-сов, чтобы произведение имело наименьшую величину. Ана-лиз показывает, что это произведение получается меньше для тех импульсов, которые изменяются во времени более плавно, форма которых более «гладкая». Наименьшая его величина, весьма близ-кая к теоретически достижимому минимуму, получается у коло-колообразных импульсов.

Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.

Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами.
Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.

Различают два вида спектральных диаграмм:
— спектральная диаграмма амплитуд;
— спектральная диаграмма фаз.

В спектральной диаграмме амплитуд — отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами.
В спектральной диаграмме фаз — отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами.
Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.

Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий — составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз — начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.

Классификация спектров сигналов.
1. По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными .
Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие.
Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом.
2. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные .
Ограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала (все спектральные составляющие) находятся в ограниченном диапазоне частот (fmax ? ?).
Неограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала находится в неограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). На практике такие спектры ограничивают.

Спектральное представление периодических сигналов

1. Гармоническое колебание.
Математическая модель гармонического колебания имеет вид:

u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)

Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте?s. Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания Ums, а в спектре фаз — начальной фазе колебания?s. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме.
Необходимо отметить, что при увеличении частоты сигнала, его составляющая будет удаляться по оси частот от нуля (рисунок 13).

Рисунок 13 - Спектральное представление гармонических колебаний

Как видно из рисунков, спектр гармонического колебания является дискретным и ограниченным.
2. Периодические, негармонические сигналы.
Основной особенностью спектрального представления таких сигналов является наличие в их спектре множества спектральных составляющих. Такие сигналы могут быть описаны рядом Фурье, согласно которому:

т. е. сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и множества гармонических составляющих.

Преобразуем данный ряд, используя тригонометрическое свойство

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)

Полагая что x=?k и y=k?ct получим:

Поскольку Umk и?k являются параметрами ряда, то их можно обозначить коэффициентами

Umk sin ? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)

Тогда ряд примет вид:

Параметры ряда можно определить через коэффициенты ak и bk:

где k=1, 2, 3 …

Амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты могут быть определены через значение сигнала u(t):

Из ряда следует, что если описываемый сигнал является четной функцией f(t)=f(-t), то ряд будет иметь только косинусоидальные составляющие, так как bk=0, если нечетная функция (f(t) ? f(-t)), то рад содержит только синусоидальные составляющие (ak=0).
Рассмотрим спектральное представление периодических, негармонических сигналов на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ).
При построении спектра необходимо рассчитать следующие параметры:
а) скважность сигнала:

б) значение постоянной составляющей:

в) частоту первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:

г) амплитуды гармонических составляющих спектра:

При построении спектра необходимо отметить следующие особенности:
1. Все гармонические составляющие находятся на частотах, кратных частоте первой гармоники (2?1, 3?1, 4?1 и т. д.);
2. Для спектра амплитуд:
а) спектр ПППИ имеет лепестковый характер, т. е. в спектре можно выделить множество «лепестков»;
б) количество гармонических составляющих в лепестке зависит от скважности и равно q — 1;
в) амплитуды гармонических составляющих, находящихся на частотах, кратных скважности, равны нулю;
г) форма спектра обозначается огибающей — пунктирной линией, плавно соединяющей вершины гармонических составляющих;
д) точка, из которой исходит огибающая, равна 2U0 или 2I0.
3. Для спектра фаз:
а) все гармонические составляющие, на частотах, не кратных скважности, имеют одинаковую высоту, равную?/2 (90°);
б) все гармонические составляющие в одном лепестке имеют одинаковый знак, а в соседних противоположный.
в) составляющие на частотах кратных скважности имеют начальную фазу равную нулю.
Спектры ПППИ при скважности q=3 представлены на рисунке 14.
Как видно из диаграмм спектр ПППИ является дискретным и неограниченным. Поэтому за ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два первых лепестка, т. к. в них содержится около 95% энергии сигнала:

Fs = 2/?и. (26)

Рисунок 14 - Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз

Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода.
3. Непериодические сигналы .
Поскольку в непериодических сигналах нельзя выделить период, т. к. Т??, то рассчитать и построить спектр тем же методом, что и для периодических сигналов нельзя. Однако знать спектр таких сигналов необходимо, т. к. все информационные сигналы являются непериодическими. Для построения спектра непериодического сигнала производят следующую процедуру: сигнал мысленно представляют как периодический с произвольным периодом, ддля которого строят спектр. Затем осуществляют предельный переход устремляя период к бесконечности (Т??) (рисунок 15). При этом частота первой гармоники и, соответственно, расстояние между гармоническими составляющими стремится к нулю (f1=1/Т), поэтому все составляющие сливаются друг с другом и образуют сплошной спектр.

Рисунок 15 - Импульсный сигнал u(t) и его представление периодическим сигналом

Форма спектра непериодических сигналов обозначается огибающей (сплошной линией) (рисунок 16).

Рисунок 16 - Спектральная диаграмма непериодического сигнала

Ряд Фурье, для таких сигналов, также нельзя записать, т. к. в этом случае амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты ak и bk равны нулю. В этом случае значение сигнала в любой момент времени также равно нулю, что является не верным. Поэтому для таких сигналов используют преобразования Фурье:

Выражение (27) является обратным преобразованием, а (28) прямым преобразованием Фурье.
Величина S(?) является комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала u(t). Она равна:

S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)

где S(?) спектральная плотность амплитуд или амплитудный спектр непериодического сигнала, а?(?) — фазовый спектр непериодического сигнала.
Спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте? равна суммарной амплитуде составляющих находящихся в малой полосе?? в окрестностях частоты? пересчитанных на 1 Герц.
Временные диаграммы и спектральные плотности амплитуд для прямоугольного и треугольного импульсов представлены на рисунке 18:

Рисунок 18 - Спектральное представление непериодических сигналов: а) прямоугольный импульс; б) треугольный импульс

Не так давно товарищ Makeman описывал , как с помощью спектрального анализа можно разложить некоторый звуковой сигнал на слагающие его ноты. Давайте немного абстрагируемся от звука и положим, что у нас есть некоторый оцифрованный сигнал, спектральный состав которого мы хотим определить, и достаточно точно.

Под катом краткий обзор метода выделения гармоник из произвольного сигнала с помощью цифрового гетеродинирования, и немного особой, Фурье-магии.

Итак, что имеем.
Файл с отсчетами оцифрованного сигнала. Известно, что сигнал представляет собой сумму синусоид со своими частотами, амплитудами и начальными фазами, и, возможно, белый шум.

Что будем делать.
Использовать спектральный анализ для того, чтобы определить:

  • количество гармоник в составе сигнала, а для каждой: амплитуду, частоту (далее в контексте числа длин волн на длину сигнала), начальную фазу;
  • наличие/отсутствие белого шума, а при наличии, его СКО (среднеквадратическое отклонение);
  • наличие/отсутствие постоянной составляющей сигнала;
  • всё это оформить в красивенький PDF отчёт с блэкджеком и иллюстрациями.

Будем решать данную задачу на Java.

Матчасть

Как я уже говорил, структура сигнала заведомо известна: это сумма синусоид и какая-то шумовая составляющая. Так сложилось, что для анализа периодических сигналов в инженерной практике широко используют мощный математический аппарат, именуемый в общем «Фурье-анализ» . Давайте кратенько разберём, что же это за зверь такой.
Немного особой, Фурье-магии
Не так давно, в 19 веке, французский математик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую функцию, удовлетворяющую некоторым условиям (непрерывность во времени, периодичность, удовлетворение условиям Дирихле) можно разложить в ряд, который в дальнейшем получил его имя - ряд Фурье .

В инженерной практике разложение периодических функций в ряд Фурье широко используется, например, в задачах теории цепей: несинусоидальное входное воздействие раскладывают на сумму синусоидальных и рассчитывают необходимые параметры цепей, например, по методу наложения.

Существует несколько возможных вариантов записи коэффициентов ряда Фурье, нам же лишь необходимо знать суть.
Разложение в ряд Фурье позволяет разложить непрерывную функцию в сумму других непрерывных функций. И в общем случае, ряд будет иметь бесконечное количество членов.

Дальнейшим усовершенствованием подхода Фурье является интегральное преобразование его же имени. Преобразование Фурье .
В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.
Давайте взглянем на то, как соотносятся коэффициенты ряда Фурье и результат преобразования Фурье, именуемый, собственно, спектром .
Небольшое отступление: спектр преобразования Фурье - в общем случае, функция комплексная, описывающая комплексные амплитуды соответствующих гармоник. Т.е., значения спектра - это комплексные числа, чьи модули являются амплитудами соответствующих частот, а аргументы - соответствующими начальными фазами. На практике, рассматривают отдельно амплитудный спектр и фазовый спектр .


Рис. 1. Соответствие ряда Фурье и преобразования Фурье на примере амплитудного спектра.

Легко видно, что коэффициенты ряда Фурье являются ни чем иным, как значениями преобразования Фурье в дискретные моменты времени.

Однако, преобразование Фурье сопоставляет непрерывной во времени, бесконечной функции другую, непрерывную по частоте, бесконечную функцию - спектр. Как быть, если у нас нет бесконечной во времени функции, а есть лишь какая-то записанная её дискретная во времени часть? Ответ на этот вопрос даёт дальнейшей развитие преобразования Фурье - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) .

Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.

Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.

Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.

Остальные свойства преобразования Фурье не изменяются: о них можно прочитать в соответствующей литературе.

Нам же нужно лишь знать о Фурье-образе синусоидального сигнала, который мы и будем стараться отыскать в нашем спектре. В общем случае, это пара дельта-функций, симметричная относительно нулевой частоты в частотной области.


Рис. 2. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.

Я уже упомянул, что, вообще говоря, мы рассматриваем не исходную функцию, а некоторое её произведение с оконной функцией. Тогда, если спектр исходной функции - F(w), а оконной W(w), то спектром произведения будет такая неприятная операция, как свёртка этих двух спектров (F*W)(w) (Теорема о свёртке).

На практике это означает, что вместо дельта-функции, в спектре мы увидим что-то вроде этого:


Рис. 3. Эффект растекания спектра.

Этот эффект именуют также растеканием спектра (англ. spectral leekage). А шумы, появляющиеся вследствие растекания спектра, соответственно, боковыми лепестками (англ. sidelobes).
Для борьбы с боковыми лепестками применяют другие, непрямоугольные оконные функции. Основной характеристикой «эффективности» оконной функции является уровень боковых лепестков (дБ). Сводная таблица уровней боковых лепестков для некоторых часто используемых оконных функций приведена ниже.

Основной проблемой в нашей задаче является то, что боковые лепестки могут маскировать другие гармоники, лежащие рядом.


Рис. 4. Отдельные спектры гармоник.

Видно, что при сложении приведённых спектров, более слабые гармоники как бы растворятся в более сильной.


Рис. 5. Чётко видна лишь одна гармоника. Нехорошо.

Другой подход к борьбе с растеканием спектра состоит в вычитании из сигнала гармоник, создающих это самое растекание.
То есть, установив амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники, можно вычесть её из сигнала, при этом мы уберём и «дельта-функцию», соответствующую ей, а вместе с ней и боковые лепестки, порождаемые ей. Другой вопрос состоит в том, как же точно узнать параметры нужной гармоники. Недостаточно просто взять нужные данные из комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды спектра сформированы по целым частотам, однако, ничто не мешает гармонике иметь и дробную частоту. В этом случае, комплексная амплитуда как бы расплывается между двумя соседними частотами, и точную её частоту, как и другие параметры, установить нельзя.

Для установления точной частоты и комплексной амплитуды нужной гармоники, мы воспользуемся приёмом, широко применяемым во многих отраслях инженерной практики – гетеродинирование .

Посмотрим, что получится, если умножить входной сигнал на комплексную гармонику Exp(I*w*t). Спектр сигнала сдвинется на величину w вправо.
Этим свойством мы и воспользуемся, сдвигая спектр нашего сигнала вправо, до тех пор, пока гармоника не станет ещё больше напоминать дельта-функцию (то есть, пока некоторое локальное отношение сигнал/шум не достигнет максимума). Тогда мы и сможем вычислить точную частоту нужной гармоники, как w 0 – w гет, и вычесть её из исходного сигнала для подавления эффекта растекания спектра.
Иллюстрация изменения спектра в зависимости от частоты гетеродина показана ниже.


Рис. 6. Вид амплитудного спектра в зависимости от частоты гетеродина.

Будем повторять описанные процедуры до тех пор, пока не вырежем все присутствующие гармоники, и спектр не будет напоминать нам спектр белого шума.

Затем, надо оценить СКО белого шума. Хитростей здесь нет: можно просто воспользоваться формулой для вычисления СКО:

Автоматизируй это

Пришло время для автоматизации выделения гармоник. Повторим ещё разочек алгоритм:

1. Ищем глобальный пик амплитудного спектра, выше некоторого порога k.
1.1 Если не нашли, заканчиваем
2. Варируя частоту гетеродина, ищем такое значение частоты, при которой будет достигаться максимум некоторого локального отношения сигнал/шум в некоторой окрестности пика
3. При необходимости, округляем значения амплитуды и фазы.
4. Вычитаем из сигнала гармонику с найденной частотой, амплитудой и фазой за вычетом частоты гетеродина.
5. Переходим к пункту 1.

Алгоритм не сложный, и единственный возникающий вопрос - откуда же брать значения порога, выше которого будем искать гармоники?
Для ответа на этот вопрос, следует оценить уровень шума еще до вырезания гармоник.

Построим функцию распределения (привет, мат. cтатистика), где по оси абсцисс будет амплитуда гармоник, а по оси ординат - количество гармоник, не превышающих по амплитуде это самое значение аргумента. Пример такой построенной функции:


Рис. 7. Функция распределения гармоник.

Теперь построим еще и функцию - плотность распределения. Т.е., значения конечных разностей от функции распределения.


Рис. 8. Плотность функции распределения гармоник.

Абсцисса максимума плотности распределения и является амплитудой гармоники, встречающейся в спектре наибольшее число раз. Отойдем от пика вправо на некоторое расстояние, и будем считать абсциссу этой точки оценкой уровня шума в нашем спектре. Вот теперь можно и автоматизировать.

Посмотреть на кусок кода, детектирующий гармоники в составе сигнала

public ArrayList detectHarmonics() { SignalCutter cutter = new SignalCutter(source, new Signal(source)); SynthesizableComplexExponent heterodinParameter = new SynthesizableComplexExponent(); heterodinParameter.setProperty("frequency", 0.0); Signal heterodin = new Signal(source.getLength()); Signal heterodinedSignal = new Signal(cutter.getCurrentSignal()); Spectrum spectrum = new Spectrum(heterodinedSignal); int harmonic; while ((harmonic = spectrum.detectStrongPeak(min)) != -1) { if (cutter.getCuttersCount() > 10) throw new RuntimeException("Unable to analyze signal! Try another parameters."); double heterodinSelected = 0.0; double signalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); for (double heterodinFrequency = -0.5; heterodinFrequency < (0.5 + heterodinAccuracy); heterodinFrequency += heterodinAccuracy) { heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinFrequency); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); double newSignalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); if (newSignalToNoise > signalToNoise) { signalToNoise = newSignalToNoise; heterodinSelected = heterodinFrequency; } } SynthesizableCosine parameter = new SynthesizableCosine(); heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinSelected); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); parameter.setProperty("amplitude", MathHelper.adaptiveRound(spectrum.getRealAmplitude(harmonic))); parameter.setProperty("frequency", harmonic - heterodinSelected); parameter.setProperty("phase", MathHelper.round(spectrum.getPhase(harmonic), 1)); cutter.addSignal(parameter); cutter.cutNext(); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()); spectrum.recalc(); } return cutter.getSignalsParameters(); }

Практическая часть

Я не претендую на звание эксперта Java, и представленное решение может быть сомнительным как по части производительности и потреблению памяти, так и в целом философии Java и философии ООП, как бы я ни старался сделать его лучше. Написано было за пару вечеров, как proof of concept. Желающие могут ознакомиться с исходным кодом на

В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал S (T ) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов :

(2.8)

Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен , элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи.

Рис.2.3. К определению сигнала на выходе линейной цепи.

Сигнал на выходе линейной цепи равен

(2.9)

Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен:

(2.10)

Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными.

Набор функций называется ортогональным, Если в интервале от до

при (2.11)

И ортонормированным, Если для всех Выполняется условие

. (2.12)

Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал , является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от до принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г. г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.

Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию

, (2.13)

где: — период сигнала; =1,2,3,….

Рис. 2.4. Периодический сигнал

Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом:

Этот ряд называется рядом Фурье.

Возможна запись ряда Фурье в другом виде:

, (2.15)

Где: — модуль амплитуд гармоник;

— фазы гармоник;

— круговая частота;

— коэффициенты косинусоидальных составляющих; — коэффициенты синусоидальных составляющих; — среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).

Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число является номером гармоники. Совокупность величин в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин — спектром фаз.

Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.

Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Таким образом, спектр периодического сигнала – Линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры.

Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.

Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если — нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.

Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:

, (2.16)

— комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.

После подстановки значений и , получим:

(2.17)

Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени , либо комплексной амплитудой спектра.

2.2.1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса, называемого скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна . На рис.1.17 приведены три импульсные последовательности с разными скважностями и соответствующие им спектры. Для периодической последовательности, скважность которой равна 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. Во всех приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей.

Рис.2.6 .Периодические последовательности импульсов и их спектры.

2.2.2. Спектр непериодического сигнала

При рассмотрении спектра непериодического сигнала воспользуемся предельным переходом от периодического сигнала к непериодическому сигналу, устремив период к бесконечности.

Для периодического сигнала, представленного на рис. 2.4, ранее получено выражение (2.17) для комплексной амплитуды спектра:

(2.18)

Введем обозначение:

(2.19)

Построим модуль спектра :


Рис. 2.7. Модуль спектра периодического сигнала

Расстояние между спектральными линиями равно . Если увеличивать период , то будет уменьшаться интервал w1 . При интервал между спектральными линиями w1® dw. При этом периодическая последовательность импульсов превращается в одиночный импульс и модуль спектра стремится к непрерывной функции частоты . В результате предельного перехода от периодического сигнала к непериодическому линейчатый спектр вырождается в сплошной спектр, представленный на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Спектр непериодического сигнала

При этом комплексная амплитуда равна:

. (2.20)

С учетом предельного перехода при

(2.21)

Подставим полученное выражение в ряд (2.16). При этом сумма трансформируется в интеграл, а значения дискретных частот в значение текущей частоты и непериодический сигнал можно представить в следующем виде:

. (2.22)

Это выражение соответствует обратному преобразованию Фурье. Огибающая сплошного спектра одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса.

Интеграл Фурье позволяет любую непериодическую функцию представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно малым интервалом по частоте. Спектр сигнала определяется из выражения

Этот интеграл соответствует прямому преобразованию Фурье.

– комплексный спектр, в нём содержится информация, как о спектре амплитуд, так и о спектре фаз.

Таким образом, спектр непериодической функции сплошной. Можно сказать, что в нём содержатся «все» частоты. Если вырезать из сплошного спектра малый интервал частот , то частоты спектральных составляющих в этом участке будут отличаться сколь угодно мало. Поэтому спектральные составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и одинаковые комплексные амплитуды. Спектральная плотность есть отношение комплексной амплитуды малого интервала частот к величине этого интервала.

Спектральный анализ сигналов имеет фундаментальное значение в радиоэлектронике. Информация о спектре сигнала позволяет обоснованно выбирать полосу пропускания устройств, на которые воздействует этот сигнал.

2.2.3. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса

Рассчитаем спектр одиночного прямоугольного импульса, амплитуда которого равна Е , а длительность — t, представленного на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Одиночный прямоугольный импульс

В соответствии с выражением (2.24) спектр такого сигнала равен

=. (2.24)

Поскольку = 0 , когда , то частоты, на которых спектр обращается в нуль равны , где K =1,2,3…

На рис. 2.10 представлен комплексный спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью .

Рис.2.10. Спектр одиночного прямоугольного импульса

Спектральная плотность определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса. В общем случае распределение энергии неоднородно. Однородное распределение характерно для хаотического процесса, называемого «белым шумом».

Спектральная плотность импульса на нулевой частоте равна его площади. Приблизительно 90% энергии одиночного прямоугольного импульса сосредоточено в спектре, ширина которого определяется выражением

Соотношение (1.41) определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. В задачах, где форма сигнала имеет второстепенное значение полосу пропускания устройства для этого сигнала можно выбрать равной ширине первого лепестка спектра. При этом неизвестна степень искажения формы сигнала. Двукратное увеличение полосы пропускания лишь на 5% увеличит энергию сигнала при одновременном возрастании уровня шумов.

Похожие статьи